Исследовать на непрерывность без графика

Привет! Давай поработаем вместе над этим заданием. Тебе необходимо исследовать функции на непрерывность. Для начала давай выберем функцию из второго задания и проанализируем её.

Исследование функции на непрерывность подразумевает проверку выполнения трёх условий в каждой точке, где это необходимо:

1. Существование функции в данной точке.
2. Существование предела функции в этой точке.
3. Равенство значения функции и её предела в этой точке.

Давай возьмем, например, функцию под номером 2:

\[ f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & \text{если } x < 1, \\ x + 1, & \text{если } x > 1. \end{cases} \]

Нам нужно исследовать точку \(x = 1\), так как это точка, в которой изменяется вид функции.

1. Считаем левосторонний предел:

\(\lim_{x \to 1-}(x^2 + 1) = 1^2 + 1 = 2\).

2. Считаем правосторонний предел:

\(\lim_{x \to 1+}(x + 1) = 1 + 1 = 2\).

3. Так как функция не определена в точке \(x = 1\), значение функции в этой точке не существует. Однако, пределы с обеих сторон совпадают и равны 2. Это говорит о том, что у нас есть устранимый разрыв в точке \(x = 1\).

Теперь, чтобы функция была непрерывна, мы можем определить её в точке \(x = 1\) следующим об