Решить пределы

Привет! Давай вместе решим задачу по пределам из твоей фотографии. Сначала разберемся, что у нас написано.

Мы видим предел функции, когда x стремится к бесконечности. Данное выражение:

\[ \lim_{{x \to \infty }} \left( \frac{{e^{2x} - x}}{{e^{2x} + x}} \right) \]

Выглядит так, будто ты уже начал решать его, используя свойство пределов, когда числитель и знаменатель стремятся к бесконечности, ты уже выделил экспоненциальную функцию. Ты на правильном пути. Чтобы упростить выражение, давай разделим числитель и знаменатель на \(e^{2x}\), чтобы лучше понять поведение функции при x, стремящемся к бесконечности.

Когда мы это сделаем, наше выражение примет вид:

\[ \lim_{{x \to \infty }} \left ( \frac{{1 - \frac{x}{{e^{2x}}}}}{{1 + \frac{x}{{e^{2x}}}}} \right ) \]

Теперь обратим внимание на то, что при \(x \to \infty\) дроби \(\frac{x}{{e^{2x}}}\) становятся очень малы, можно сказать, что они стремятся к нулю. Это происходит потому, что экспоненциальный рост в числителе и знаменателе намного быстрее линейного роста функции x.

\[\frac{x}{{e^{2x}}} \to 0 \quad \text{при} \quad x \to \infty\]

Теперь, если мы подставим