Решить 8.16

Хорошо, давай рассмотрим задачу 8.16 вместе.

Тебе нужно показать, что уравнение \(4x^2 + 9y^2 - 8x - 36y + 4 = 0\) определяет эллипс, найти его оси, координаты центра и эксцентриситет.

Для начала приведем уравнение к стандартному виду уравнения эллипса. Сделаем это через дополнение полных квадратов по \(x\) и \(y\).

Уравнение эллипса в общем виде выглядит так: \( \frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 \), где \((h;k)\) - координаты центра эллипса, \(a\) и \(b\) – длины полуосей.

Преобразуем исходное уравнение:

1. Выделим полные квадраты: \[ 4x^2 - 8x + 9y^2 - 36y + 4 = 0 \] \[ 4(x^2 - 2x) + 9(y^2 - 4y) = -4 \]

2. Добавим и вычтем \( \frac{8^2}{4 \times 2} \) для \(x\) и \( \frac{36^2}{9 \times 2} \) для \(y\), чтобы получить полные квадраты: \[ 4\left(x^2 - 2x + \frac{8^2}{4 \times 2}\right) + 9\left(y^2 - 4y + \frac{36^2}{9 \times 2}\right) = -4 + 4 \times \frac{8^2}{4 \times 2} + 9 \times \frac{36^2}{9 \times 2} \] [ 4\