?

Привет! Давай вместе решим эту задачу. Итак, нам нужно вычислить дифференциал функции \( y = \frac{x + 2}{e^x} \) в точке \( x_0 = 0 \).

Сначала найдём производную этой функции. Производная частного двух функций вычисляется по правилу: если у нас есть функция \( y = \frac{u}{v} \), где \( u \) и \( v \) — некоторые дифференцируемые функции, то производная этого выражения будет \( y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \). В нашем случае \( u = x + 2 \), а \( v = e^x \).

Теперь нужно взять производные от \( u \) и от \( v \) по отдельности. Производная от \( u = x + 2 \) — это будет просто 1, так как производная постоянной равна нулю и производная от \( x \) равна 1. Производная от \( e^x \) это \( e^x \), так как функция \( e^x \) при дифференцировании возвращается сама себя.

Теперь подставим всё в формулу производной частного:

\( y' = \frac{1 \cdot e^x - (x + 2) \cdot e^x}{(e^x)^2} \).

Мы можем упростить выражение, объединив члены с \( e^x \), и получим:

\( y' = \frac{e^x - x \cdot e^x - 2 \cdot e^x}{e^{2x}} \).

Теперь упростим ещё больше, разделив все члены на \( e^x \):

(