Реши интеграл

Окей, давай разберёмся с этим интегралом шаг за шагом. Нам нужно решить интеграл вида:

∫ (x^5) / (1 - x^3) dx

Это можно сделать методом подстановки. Заметим, что знаменатель можно представить как разность кубов (1 − x^3), что дает нам идею для подстановки. Давай возьмём u = 1 - x^3, из этого следует, что du = -3x^2 dx. Теперь нам нужно выразить x^5 dx через du. Мы можем изменить выражение для du так: -du/3 = x^2 dx.

Чтобы добиться x^5 в числителе, умножим обе части на x^3, получим: -x^3 du/3 = x^5 dx.

Теперь мы можем приступить к подстановке в интеграл:

∫ (-x^3/3) * (1/u) du

Но у нас в подстановке нет x^3, поэтому выразим это через u. У нас есть u = 1 - x^3, откуда x^3 = 1 - u. Подставим это вместо x^3 в интеграл:

∫ [-(1 - u)/3] * (1/u) du

Упрощаем этот интеграл:

∫ [-1/3 + u/3] * (1/u) du

Разделяем интеграл на два:

-1/3 ∫ (1/u) du + 1/3 ∫ du

Теперь мы можем проинтегрировать каждый из этих интегралов по отдельности. Первый интеграл дает нам логарифм, а второй - просто u:

-1/3 ln|u| + 1