Упростить

Привет! На изображении у нас представлен предел функции, когда \( x \) стремится к нулю. Давай шаг за шагом разберемся с этой задачей.

У нас есть следующий предел:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + \sin x)}{2 \sin^3 x - 1} \]

Чтобы упростить этот предел, учитывая, что \( x \) стремится к нулю, мы можем воспользоваться эквивалентностями. В окрестности нуля функция \( \ln(1 + x) \) эквивалентна \( x \), и функция \( \sin x \) эквивалентна просто \( x \), так как при \( x \) стремящемся к нулю эти функции приближаются к прямой пропорциональности.

Теперь давай подставим эти эквивалентности в наш предел. Получим:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{x}{2x^3 - 1} \]

Мы видим что при подстановке 0 в числитель и знаменатель мы получим неопределенность 0/(-1), которую можно упростить, разделив числитель и знаменатель на \( x \). Поскольку \( x \) стремится к нулю и не может быть равен нулю, мы можем безопасно разделить на \( x \), чтобы упростить выражение:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{1}{2x^2 - 1/x} \]

Поскольку \( x \) стремится к нулю, \( 1/x \) будет стремиться к бесконечности, \( 2x^2 \) будет стремиться к нулю, а знаменатель как целое будет стр