Реши пример

Привет! Давай вместе решим этот пример.

Нам нужно найти значение \( \sin{2\alpha} \). Известно, что \( \cos{\alpha} = \frac{8}{17} \) и \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \).

Поскольку \( \alpha \) находится в четвертом квадранте (так как \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \)), то \( \sin{\alpha} \) будет отрицательным, так как синус в четвертом квадранте отрицателен.

Теперь, используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1 \).

1. Найдем \( \sin{\alpha} \): \[ \sin^2{\alpha} = 1 - \cos^2{\alpha} \] \[ \sin^2{\alpha} = 1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2 \] \[ \sin^2{\alpha} = 1 - \frac{64}{289} \] \[ \sin^2{\alpha} = \frac{289}{289} - \frac{64}{289} \] \[ \sin^2{\alpha} = \frac{225}{289} \] \[ \sin{\alpha} = \pm\sqrt{\frac{225}{289}} \] \[ \sin{\alpha} = \pm\frac{15}{17} \] Но поскольку мы находимся в четвертом квадранте, \( \sin{\alpha} \) будет отрицательным: \[ \sin{\alpha} = -\frac{15}{17} \]

2. Используем формулу двойного угла для синуса: \( \sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha} \).

Теперь подставим наши значения: [ \sin{2\alpha} = 2 \cdot