1

Давай начнём с первого пункта. Нам нужно найти вторую производную функции \(y = 3\tg(2x - 1)\) и проверить, удовлетворяет ли она уравнению \(y'' = 2yy'\).

1. Найдём первую производную функции \(y\): \(y' = 3\frac{d}{dx}[\tg(2x - 1)]\).

Чтобы найти производную тангенса, вспомним, что производная \(tg(u) = \frac{du}{dx}\cdot\sec^2(u)\).

Таким образом, производная функции \(у\) будет: \(y' = 3\cdot\sec^2(2x-1)\cdot\frac{d}{dx}(2x - 1)\). Помним, что \(\sec(u) = \frac{1}{\cos(u)}\), и \(\frac{d}{dx}(2x - 1) = 2\), поэтому получаем: \(y' = 3\cdot\frac{1}{\cos^2(2x-1)}\cdot 2\), \(y' = \frac{6}{\cos^2(2x-1)}\).

2. Теперь найдём вторую производную \(y''\): \(y'' = \frac{d}{dx}\left[\frac{6}{\cos^2(2x-1)}\right]\).

В данном случае нам нужно использовать правило производной для дроби (правило дифференцирования сложной функции и производная косинуса): \(y'' = 6\frac{d}{dx}\left[\cos^{-2}(2x-1)\right]\), \(y'' = 6\cdot -2\cos^{-3}(2x-1)\cdot(-\sin(2x-1))\cdot(2)\), (y'' = 24\sin(2x-1)\cos^{-3