Найти производные

Привет! Давай разберёмся с тем, что у нас на картинке. Требуется найти производные заданных функций. Сначала перевернём картинку, чтобы было удобнее читать.

1. \( y = \frac{1}{x^5} \)

Эта функция — степенная функция с отрицательным показателем степени. Чтобы найти производную по правилу нахождения производной степенной функции, нужно умножить показатель степени на функцию и уменьшить показатель степени на единицу.

Производная y' будет равна: -5/x^6. Мы умножили показатель степени, который был -5, на функцию и уменьшили степень на единицу (-5 стало -6).

2. \( u(t) = (3t^4 + 4t^3 - t + 1)^5 \)

Это сложная функция вида f(g(t)), где f(u) = u^5 и g(t) = 3t^4 + 4t^3 - t + 1. Для нахождения производной используем правило дифференцирования сложной функции (правило цепочки):

Сначала найдём производную внешней функции по u: f'(u) = 5u^4.

Затем найдём производную g(t) по t: g'(t) = 12t^3 + 12t^2 - 1.

Теперь производная u'(t) в соответствии с правилом цепочки будет: `u'(t) = f'(g(t)) * g'(t) = 5 * (3t^4 + 4t^3 - t + 1)^4