Реши

Привет! Давайте вместе разберемся с заданиями на картинке.

1. Нам нужно доказать, что у функции F(x) = 1/3 - 1/x есть первообразная для f(x) = 1/x^2 на интервале (0; ∞).

Чтобы это сделать, мы должны взять производную от F(x) и посмотреть, равна ли она f(x). Производная от 1/3 равна 0 (так как это константа), а производная от -1/x равна 1/x^2. Значит, производная F(x) равна 1/x^2, что и требовалось доказать.

2. Нужно найти для функции f(x) = 4sin x: а) множество всех первообразных; б) первообразную, график которой проходит через точку A(π/2; 0).

а) Первообразные функции 4sin x будут иметь вид -4cos x + C, где C — константа (действительное число). б) Чтобы найти конкретную первообразную, подставим точку A(π/2; 0) в первообразную: 0 = -4cos(π/2) + C. Поскольку cos(π/2) = 0, то C = 0. Значит, нужная первообразная будет -4cos x.

3. Вычислим определенный интеграл от 1 до 4 для функции 2/√x. Для этого найдем первообразную от функции 2/√x, которая выглядит как 4√x (так как первообразная от 1/√x это 2√x, а у нас в два раза больше). Теперь вычислим значение ин