AB/A1B1

Итак, давай посмотрим на задачу. У нас есть квадрат \( A_1B_1C_1D_1 \) и в него вписана окружность, которая касается сторон квадрата в точках \( A, B, C, D \). Нам нужно найти отношение длины отрезка \( AB \) к длине стороны квадрата \( A_1B_1 \).

Раз окружность вписана в квадрат, то диаметр этой окружности равен стороне квадрата. То есть, если обозначить сторону квадрата за \( a \), тогда \( A_1B_1 = C_1D_1 = a \), и диаметр окружности тоже равен \( a \). Точка \( O \) - это центр окружности, значит \( AO = OB = \frac{a}{2} \).

Отрезок \( AB \) - это хорда этой окружности, и если мы проведем перпендикуляр из центра \( O \) на хорду \( AB \), то он будет делить хорду \( AB \) пополам, и окажется радиусом окружности, так как точка касания радиуса и хорды образует прямой угол.

Таким образом, мы получили равнобедренный треугольник \( AOB \), в котором \( AO \) и \( OB \) — это радиусы и, следовательно, они равны половине стороны квадрата \( a/2 \), а отрезок \( AB \) мы можем найти, используя Пифагорову теорему для треугольника \( AOB \), где \( AB \) будет г