Реги

Привет! Давай вместе разберём эту тригонометрическую задачу. У нас есть уравнение:

\[ 12\sin^2x + 20\cos x - 19 = 0 \]

Для того, чтобы решить его, можно использовать основное тригонометрическое тождество \(\sin^2x + \cos^2x = 1\). С этим тождеством можно выразить \(\sin^2x\) через \(\cos^2x\) и сделать замену переменной, но лучше здесь выразить \(\sin^2x\) как \( 1 - \cos^2x \), чтобы получить уравнение относительно \(\cos x\):

\[ 12(1 - \cos^2x) + 20\cos x - 19 = 0 \]

Теперь упростим уравнение:

\[ 12 - 12\cos^2x + 20\cos x - 19 = 0 \] \[ -12\cos^2x + 20\cos x - 7 = 0 \]

Сделаем замену \( t = \cos x \), тогда у нас получится квадратное уравнение:

\[ -12t^2 + 20t - 7 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение через дискриминант \( D \):

\[ D = 20^2 - 4 \cdot (-12) \cdot (-7) = 400 - 336 = 64 \]

Теперь найдем корни уравнения:

\[ t_{1,2} = \frac{-20 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot (-12)} = \frac{-20 \pm 8}{-24} \]

\[ t_1 = \frac{-20 + 8}{-24} = \frac{-12}{-24} = \frac{1}{2} \] [ t_2 = \frac{-20 - 8}{-24}