Решите уравнение

Привет!

На фотографии у нас есть уравнение, которое связывает биномиальные коэффициенты и квадратичную функцию:

\[ 12 \cdot C_{x+3}^{x+1} = 55 \cdot A_{x+1}^2 \]

С боку мы видим подсказку, как выглядит решение биномиального коэффициента \(C_n^k\). Так что давайте попробуем это использовать.

Биномиальный коэффициент \(C_n^k\) задается формулой:

\[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Теперь подставим значения из уравнения в эту формулу. У нас \(n = x + 3\) и \(k = x + 1\), тогда:

\[ C_{x+3}^{x+1} = \frac{(x + 3)!}{(x + 1)!*(x + 3 - (x + 1))!} = \frac{(x + 3)!}{(x + 1)!*2!} \]

Дальше мы можем упростить факториал:

\[ (x + 3)! = (x + 3)(x + 2)(x + 1)! \]

Сократим \((x + 1)!\) в числителе и знаменателе:

\[ C_{x+3}^{x+1} = \frac{(x + 3)(x + 2)}{2!} = \frac{(x + 3)(x + 2)}{2} \]

Теперь подставим упрощенный биномиальный коэффициент в уравнение:

\[ 12 \cdot \frac{(x + 3)(x + 2)}{2} = 55 \cdot A_{x+1}^2 \]

К сожалению, на картинке не показано, как расши