.

Хорошо, давай разбираться с этой задачей.

У нас есть прямоугольный треугольник \( ABC \) с прямым углом \( C \). Нам известны длины катетов: \( AC = 12 \) см и \( BC = 5 \) см. Нужно найти длину гипотенузы \( AB \) и тангенс угла \( B \).

1. Длину гипотенузы мы можем найти по теореме Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. То есть, \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \).

\( AB^2 = 12^2 + 5^2 \) \( AB^2 = 144 + 25 \) \( AB^2 = 169 \)

Отсюда получаем, что длина гипотенузы \( AB \) равна корню из 169, то есть 13 см.

2. Теперь найдем тангенс угла \( B \). Тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то есть \( tg B = AC / BC \).

\( tg B = 12 / 5 \) \( tg B = 2.4 \)

Таким образом, длина третьей стороны (гипотенузы) треугольника \( AB \) равна 13 см, а тангенс угла \( B \) равен 2.4.