Решите неравенство

Привет! Давай решим это неравенство вместе.

Нам дано неравенство: \[ 11 \log_{36}(x^2 - 41x + 180) \leq 12 + \log_{36}\left(\frac{x - 36}{x - 5}\right) \]

Для начала нам нужно упростить данное неравенство. Мы можем перенести все слагаемые на одну сторону, чтобы все логарифмы были в одной части неравенства и использовать свойства логарифмов для их упрощения. Прежде чем мы это сделаем, давайте убедимся, что область определения функции учтена. Выражение под логарифмом должно быть положительным, так же как и знаменатель дроби под вторым логарифмом, поэтому: \[ x^2 - 41x + 180 > 0 \] \[ x - 5 > 0 \]

После того как мы учтём область определения, можем приступить к упрощению: \[ 11 \log_{36}(x^2 - 41x + 180) - \log_{36}\left(\frac{x - 36}{x - 5}\right) \leq 12 \]

Используя свойство логарифма \( \log_a(b) - \log_a(c) = \log_a\left(\frac{b}{c}\right) \), мы получим: \[ \log_{36}\left(\frac{(x^2 - 41x + 180)^{11}}{\frac{x - 36}{x - 5}}\right) \leq 12 \]

Теперь давайте избавимся от логарифма, возводя основание логарифма в степень обеих частей неравенства: [