Найти первообразную

Привет! Давай попробуем решить эту задачу вместе. Найти первообразную функции - это значит, что нам нужно найти функцию, производная которой дает заданное выражение.

У нас есть функция \( F(x) = \frac{x - 1}{x^2 + x - 2} \).

Для начала давай разложим знаменатель на множители. Это квадратное уравнение, и его корни можно найти через дискриминант или разложив на множители. Получается так:

\( x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) \)

Теперь у нас есть \( F(x) = \frac{x - 1}{(x + 2)(x - 1)} \). Как видишь, \( x - 1 \) в числителе и знаменателе сокращаются, и функция упрощается до \( F(x) = \frac{1}{x + 2} \).

Теперь давай найдем первообразную для упрощенной функции \( \frac{1}{x + 2} \). Первообразная функция \( \frac{1}{x} \) - это \( \ln|x| \) с точностью до константы. Поэтому, первообразной для \( \frac{1}{x + 2} \) будет \( \ln|x + 2| + C \), где \( C \) - это константа интегрирования.

Итак, первообразная для заданной функции \( F(x) \) будет:

\( \int F(x) \, dx = \ln|x + 2| + C \)

Надеюсь, это помогло! Если что-то непонятно, спрашивай, будем разбираться вместе.