Найти первообразную

Привет!

Чтобы найти первообразные для каждого из выражений на картинке, нам нужно использовать различные методы интегрирования. Давай посмотрим каждое из них по очереди.

1. \( 5x^4 + 2x^3 \)

Для начала возьмём интеграл от многочлена. Интегрирование многочлена происходит почленно:

\( \int (5x^4 + 2x^3)dx = \int 5x^4 dx + \int 2x^3 dx \)

По правилу интегрирования степенной функции, мы прибавляем к показателю степени единицу и делим коэффициент на новый показатель:

\( \frac{5}{5}x^{4+1} + \frac{2}{4}x^{3+1} + C = x^5 + \frac{1}{2}x^4 + C \), где C - константа интегрирования.

2. \( 6x^2 - 4x + 3 \)

Аналогично предыдущему:

\( \int (6x^2 - 4x + 3)dx = \int 6x^2 dx - \int 4x dx + \int 3dx \)

\( \frac{6}{3}x^{2+1} - \frac{4}{2}x^{1+1} + 3x + C = 2x^3 - 2x^2 + 3x + C \)

3. \( \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} \)

Тут у нас дроби, но интегрировать их тоже довольно просто:

( \int \left(\frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}\right)dx = \int 2x^{-1} dx + \int 3x^{-2} dx \