Номер 7

Привет! Давай разберем задачу номер 7 вместе.

Нам нужно определить, рациональным ли или иррациональным числом является значение производной функции \( f(x) = \frac {3x - x^2}{\sqrt{x}} \) в точке \( x = 1 \).

Сначала найдем производную функции \( f(x) \). Для этого используем правило дифференцирования дроби и правила нахождения производных от \( x^n \) и \( \sqrt{x} \).

Производная от \( x^n \) будет \( nx^{n-1} \) и производная от \( \sqrt{x} \) - это производная от \( x^{\frac{1}{2}} \), что дает нам \( \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \).

Мы применяем правило дифференцирования частного: \((u/v)' = (u'v - uv') / v^2 \), где \( u = 3x - x^2 \) и \( v = \sqrt{x} \).

Теперь найдем производные \( u' \) и \( v' \):

\( u' = 3 - 2x \) \( v' = 1/(2\sqrt{x}) \)

Теперь подставим \( u, u', v, v' \) в формулу производной частного:

\[ f'(x) = \frac{(3 - 2x)\sqrt{x} - (3x - x^2)\frac{1}{2\sqrt{x}}}{x} \]

Подставим \( x = 1 \) в производную функции, чтобы найти \( f'(1) \):

\[ f'(1) = \frac{(3 - 2 \cdot 1)\sqrt{1} - (3 \cdot 1 - 1^2)\frac{1}{2\sqrt{1}}}{1} \]

[ f