Верны ли утверждения

Чтобы правильно ответить на вопрос, давай разберем каждое утверждение по очереди.

Утверждение А: Достаточное условие существования экстремума функции \( y = f(x) \) в точке \( M(x_0; f(x_0)) \) — это \( f'(x_0) = 0 \).

Это утверждение не верно. Достаточное условие говорит нам, что нужны дополнительные проверки, чтобы установить, является ли точка экстремумом даже если производная равна нулю в этой точке. Например, можно проверить знаки производной слева и справа от точки или использовать вторую производную, если она существует. Поэтому одного нуля производной для утверждения о существовании экстремума недостаточно — это лишь необходимое условие.

Утверждение В: Необходимое условие существования точки перегиба функции \( y = f(x) \) в точке \( M(x_0; f(x_0)) \) при переходе через точку \( f''(x) \) меняет знак.

Это утверждение верно. Если функция имеет точку перегиба, то вторая производная \( f''(x) \) должна менять свой знак при переходе через эту точку. Это связано с изменением выпуклости функции на противоположную в точке перегиба.

Исходя из этого, правильным ответом будет вариант \( А \) – нет, \( В \) – да.