Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке О (рис. 11.33). Известно, что угол BAD равен углу ADC, AO=OD. Докажите, что AB=CD.

Доказательство: Поскольку AO = OD, а угол BAD = углу ADC, то треугольники ABO и CDO являются равнобедренными со сторонами AO = OD. Таким образом, угол OAB = углу ODC и угол ABO = углу CDO. Теперь рассмотрим треугольники AOB и COD. У нас есть: угол OAB = углу ODC (1) угол ABO = углу CDO (2) AO = OD (3) Из (1) и (2) следует, что треугольники AOB и COD подобны. Раз треугольники подобны, значит, соответствующие стороны пропорциональны. То есть, AB/CD = AO/OD (4) Из (3) следует, что AO = OD Подставляем AO = OD в (4) и получаем AB/CD = 1 Следовательно, AB = CD.

Таким образом, доказано, что AB=CD.