Решить

Привет! Давай разберемся с этими примерами по очереди. Нужно найти производные функций.

а) Для функции \( y = 2x^2 + 3x + 5 \) применяем правило дифференцирования степенной функции. Производная от \( x^n \) равна \( nx^{n-1} \). Итак, берем производную от каждого слагаемого:

Производная \( 2x^2 \) это \( 2 \cdot 2x = 4x \). Производная \( 3x \) это \( 3 \). Производная \( 5 \) (константа) это \( 0 \).

В итоге получаем: \( y' = 4x + 3 \).

б) Теперь функция \( y = 2\sqrt{x} + 5x^3 + 12 \). Заметим, что \( \sqrt{x} \) это \( x^{1/2} \), и можем использовать те же правила:

Производная от \( 2\sqrt{x} \) есть \( 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = x^{-1/2} \). Производная от \( 5x^3 \) есть \( 3 \cdot 5x^2 = 15x^2 \). Производная от константы \( 12 \) есть \( 0 \).

В итоге получаем: \( y' = x^{-1/2} + 15x^2 \) или в более привычном виде: \( y' = \frac{1}{\sqrt{x}} + 15x^2 \).

в) Следующая функция: \( y = 4 + 8\sqrt{x} + 2x^4 \).

Производная от константы \( 4 \) равна \( 0 \). Производная от (\( 8\sqrt{x} \))