Задача по алгебре

Давай посмотрим на задачу. Нам нужно упростить выражение:

\[ \left( \frac{a^2}{a^2 - 1} - \frac{1}{a} \right) : \left( \frac{1}{a+1} \right) \]

где \( a \neq 1 \) и \( a \neq -1 \), чтобы избежать деления на ноль.

Шаг 1: Упростим первую часть выражения.

\[ \frac{a^2}{a^2 - 1} - \frac{1}{a} = \frac{a^3 - a}{a(a^2 - 1)} \]

Первое действие мы сделали объединив дроби, чтобы иметь общий знаменатель. Для этого мы умножим \( \frac{1}{a} \) на \( \frac{a - 1}{a - 1} \), чтобы получить общий знаменатель \( a(a - 1)(a + 1) \), который фактически полный квадрат разности, \( a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1) \).

Шаг 2: Упростим вторую часть выражения.

Мы делим на дробь \( \frac{1}{a+1} \), и делить на дробь - это то же самое, что умножить на обратную дробь. Таким образом, у нас получится умножение на \( a + 1 \).

После этих упрощений, наше выражение примет вид:

\[ \frac{a^3 - a}{a(a^2 - 1)} \cdot (a + 1) \]

Шаг 3: Сократим дробь.

Теперь мы можем сократить \( a + 1 \) в числителе и знаменателе.

[