14. Куб и правильная четырёхугольная пирамида имеют общее основа- ние, а грань куба, противоположная этому основанию, пересекает боковое ребро пирамиды в точке М. Ребро куба относится к высоте пирамиды как 2:5. а) Докажите, что точка М делит боковое ребро пирамиды в отношении 3:2, считая от вершины. 6) Найдите площадь боковой поверхности части пирамиды, заключён- ной внутри пирамиды, если ребро куба равно 6.

а) Пусть \( h \) - высота пирамиды, \( l \) - длина бокового ребра пирамиды, \( a \) - длина ребра куба. Тогда согласно условию, \( \frac {a} {h} = \frac {2} {5} \). Также, по теореме Пифагора для треугольника, образованного боковым ребром, высотой и линией, соединяющей вершину пирамиды и точку \( M \), получаем \( l^2 = h^2 + (\frac {3a} {5})^2 \).

Далее докажем, что \( M \) делит боковое ребро пирамиды в отношении 3:2. Пользуясь подобием треугольников, приравняем отношение сторон: \( \frac {l - 3a/5} {3a/5} = \frac {l} {2a} \). Решая это уравнение, получаем \( l = \frac {15a} {8} \).

б) Площадь боковой поверхности части пирамиды равна \( S = \frac {1} {2} \cdot l \cdot PM \), где \( PM \) - линия, соединяющая точку \( M \) с основанием пирамиды. Подставляем из пункта а) \( l = \frac {15a} {8} \) и находим \( PM \) через теорему Пифагора: \( PM = \sqrt {h^2 + (\frac {2a} {5})^2} \).

Подставляем все в формулу для площади и находим ответ.