Запиши уравнение, полученное после разделения переменных диффереционного уравнения

Привет! Давай разберёмся с твоей задачей посовместительству.

На картинке у нас дифференциальное уравнение, которое нужно решить методом разделения переменных. Для начала нам нужно привести члены уравнения с x и dx к одну сторону, а с y и dy - к другой. Следующим шагом будет интегрирование этих выражений по соответствующим переменным.

В твоем уравнении уже есть разделённые переменные, то есть оно выглядит так:

\[ x \sqrt{1 - y^2} \, dx + y \sqrt{1 - x^2} \, dy = 0\]

Переместим теперь каждое слагаемое с его переменной на разные стороны:

\[ x \sqrt{1 - y^2} \, dx = -y \sqrt{1 - x^2} \, dy \]

Теперь давай поделим обе части на \( \sqrt{1 - y^2} \cdot \sqrt{1 - x^2} \) и умножим обе части на dx и dy для полного разделения переменных:

\[ \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = -\frac{y}{\sqrt{1 - y^2}} \, dy \]

Таким образом, у нас получилось разделение переменных, и теперь мы можем проинтегрировать левую и правую части уравнения по x и y соответственно.

Проинтегрируем обе части:

\[ \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = -\int \frac{y}{\sqrt{1 - y^2}} \, dy \]

Полученные интегралы - это интегралы от рациональных функций