Найди общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

Привет! Давай пошагово решим данное дифференциальное уравнение. У нас есть уравнение:

\[ (2 - y)xdx + (3 + x^2)dy = 0 \]

Это уравнение с разделяющимися переменными, то есть мы можем перенести все члены с x на одну сторону, а с y – на другую. Давай начнем с пошагового разделения переменных:

\[ (2 - y)xdx = -(3 + x^2)dy \]

Теперь разделим обе стороны на \( (2 - y)(3 + x^2) \), чтобы полностью разделить переменные x и y:

\[ \frac{x}{3 + x^2}dx = -\frac{1}{2 - y}dy \]

Теперь интегрируем обе стороны уравнения относительно их переменных. При интегрировании левой стороны по x получим \(\int \frac{x}{3 + x^2}dx\), а правой стороны по y получим \(-\int \frac{1}{2 - y}dy\). Для удобства интегрирования в левой части можно сделать замену переменной \(u = 3 + x^2\), тогда \(du = 2xdx\), и у нас получится интеграл \(\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}du\), который равен \(\frac{1}{2}\ln|u|\) плюс константа интегрирования. Не забудем про замену обратно на x: \(u = 3 + x^2\).

Интегрируем правую сторону и получаем \(-\int \frac{1}{2 - y}dy = -\ln|2 - y|\) плюс константа интегрирования