В треугольнике ABC на стороне AC нашлись такие точки D и E, что AB = AD и BE = EC (E между A и D). Точка F — середина дуги BC окружности, описанной около треугольника ABC. Докажите, что точки B, E, D, F лежат на одной окружности

Проведем AF и расмотрим хорду BE. Так как AB = AD, то треугольник ABD — равнобедренный. Это означает, что угол ADB = углу BAD = углу CAF (соответственные углы). Также, так как BE = EC, то угол BCE = углу CBE = углу BCF (соответственные углы). Из углов равнобедренного треугольника ABD и углов равенства углов, видим, что углы ADF и CAF равны, а углы BEF и CBF тоже равны. Следовательно, B, E, D, F лежат на одной окружности.