Построй график

Хорошо, давай посмотрим вместе на эту задачу. Нас просят исследовать функцию \( y = x^3 - \frac{x^4}{4} \) и построить её график.

Для начала исследуем область определения функции: так как у нас многочлен, он определён на всей числовой прямой, то есть его область определения - это все действительные числа \( (-\infty; +\infty) \).

Теперь проверим функцию на непрерывность. Так как многочлен всегда непрерывен на своей области определения, то и наша функция непрерывна на всей числовой прямой.

Определим чётность или нечётность функции: если функция чётная, то \( f(x) = f(-x) \), если нечётная — \( f(-x) = -f(x) \). Проверим:

\( f(-x) = (-x)^3 - \frac{(-x)^4}{4} = -x^3 - \frac{x^4}{4} \)

Как видишь, \( f(-x) \) не равен \( f(x) \) и не равен \( -f(x) \), значит функция ни чётная, ни нечётная.

Исследуем интервалы возрастания и убывания функции. Для этого найдем производную функции и приравняем её к нулю, чтобы найти критические точки:

\( y' = 3x^2 - x^3 \)

Приравняем производную к нулю:

\( 3x^2 - x^3 = 0 \) \( x^2(3 - x) = 0 \)

Отсюда получаем критические точки: ( x =