Решение систем уравнений методом Гаусса

Привет! Давай вместе решим эту систему уравнений методом Гаусса.

Это система из трёх уравнений с тремя переменными: \( x \), \( y \), и \( z \). Сначала нам нужно записать расширенную матрицу для этой системы:

\[ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & 5 & -1 & 8 \\ 0 & -5 & 5 & 0 \\ \end{array}\right) \]

Теперь, используя метод Гаусса, постараемся привести эту матрицу к верхнетреугольному виду:

1. Нам нужно получить нули под первым элементом (1) в первом столбце. В нашем случае там уже стоят нули, так что ничего делать не нужно.

2. Теперь давай разберёмся со вторым столбцом. Нам нужно получить нуль под элементом 5. Для этого мы можем прибавить к третьей строке вторую строку:

\[ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & 5 & -1 & 8 \\ 0 & 0 & 4 & 8 \\ \end{array}\right) \]

Теперь у нас есть верхнетреугольная матрица, и мы можем приступить к обратному ходу метода Гаусса — пошагово выразим все переменные, начиная с последней строки:

Из третьего уравнения получается \( 4z = 8 \), откуда \( z = 2 \).

Теперь подставим значение \( z \) во второе уравнение: \( 5y - z = 8 \), то есть ( 5y -