G

Привет! Давай разберём вместе один из примеров на фотографии.

Среди представленных задач есть простые и сложные, но я считаю, что задача 4.132 номер 5 будет хорошим примером для решения:

\[ \sin(30^\circ + x) + \cos(30^\circ - x) \]

Для начала вспомним основные тригонометрические тождества и формулы суммы и разности углов. Формула синуса суммы углов \(\sin(\alpha + \beta)\) равна \(\sin\alpha \cdot \cos\beta + \cos\alpha \cdot \sin\beta\), а формула косинуса разности углов \(\cos(\alpha - \beta)\) равна \(\cos\alpha \cdot \cos\beta + \sin\alpha \cdot \sin\beta\).

Теперь применяем эти знания:

1. Разложим \(\sin(30^\circ + x)\) используя формулу синуса суммы углов: \[ \sin(30^\circ + x) = \sin30^\circ \cdot \cos x + \cos30^\circ \cdot \sin x \] \[ \sin(30^\circ + x) = \frac{1}{2} \cdot \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin x \]

2. Разложим \(\cos(30^\circ - x)\) используя формулу косинуса разности углов: \[ \cos(30^\circ - x) = \cos30^\circ \cdot \cos x + \sin30^\circ \cdot \sin x \] \[ \cos(30^\circ - x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos x + \frac{1}{2} \cdot \sin x \]

Теперь сложим результаты раз