.

Привет! Давай вместе решим эту задачку по геометрической прогрессии. Первый член прогрессии у нас \( b_1 = 0,5 \), а знаменатель прогрессии равен 4.

Стандартный способ найти сумму первых нескольких членов геометрической прогрессии — использовать формулу суммы первых \( n \) членов. Но мы не будем её применять, вместо этого посчитаем каждый член прогрессии по очереди до шестого, а потом просто сложим их вместе.

Давай последовательно найдем все члены до шестого:

1. \( b_1 = 0,5 \),
2. \( b_2 = b_1 \cdot 4 = 0,5 \cdot 4 = 2 \),
3. \( b_3 = b_2 \cdot 4 = 2 \cdot 4 = 8 \),
4. \( b_4 = b_3 \cdot 4 = 8 \cdot 4 = 32 \),
5. \( b_5 = b_4 \cdot 4 = 32 \cdot 4 = 128 \),
6. \( b_6 = b_5 \cdot 4 = 128 \cdot 4 = 512 \).

Теперь сложим все полученные числа, чтобы найти искомую сумму \( S_6 \): \( S_6 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6 = 0,5 + 2 + 8 + 32 + 128 + 512 = 682,5 \).

Таким образом, сумма первых шести членов данной геометрической прогрессии равна 682,5.