При каких значениях m вершины парабол y=x^2-6mx+m и y=x^2-4mx-2 расположены по одну сторону от оси x?

Привет! Давай вместе разберемся с этой задачей.

В задаче даны две параболы:

1. \( y = x^2 - 6mx + m \)
2. \( y = x^2 - 4mx - 2 \)

Нам нужно найти такие значения \( m \), при которых вершины этих парабол находятся по одну сторону от оси \( x \), то есть либо обе вершины парабол находятся выше оси \( x \), либо обе ниже.

Координата \( y \) вершины параболы задается как \( y_{верш} = -\frac{D}{4a} \), где \( D \) - дискриминант квадратного трехчлена, а \( a \) - старший коэффициент. В наших параболах \( a = 1 \) для обеих функций, так что это упрощает задачу.

Дискриминант для параболы 1: \( D_1 = (-6m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 36m^2 - 4m \). Дискриминант для параболы 2: \( D_2 = (-4m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 16m^2 + 8 \).

Теперь найдем координаты вершин:

1. \( y_{верш1} = -\frac{36m^2 - 4m}{4} = -9m^2 + m \).
2. \( y_{верш2} = -\frac{16m^2 + 8}{4} = -4m^2 - 2 \).

Чтобы обе вершины были выше или ниже оси \( x \), оба значения \( y_{верш} \) должны быть либо больше нуля,