Решенич

Привет! Давай разберемся с задачей, которая у тебя перед глазами.

На картинке - задача по нахождению частных производных функции и градиента в точке \(M_0\). Нам надо найти дифференциалы \( z'_x \) и \( z'_y \) для функции из пункта а), заданной как \( z = 2y - \frac{y^2}{5x} + \sqrt[3]{x} \), и подсчитать градиент в точке \(M_0(1; \frac{1}{2}) \).

Итак, начнем пошагово. Сначала найдем частные производные по \(x\) и по \(y\).

1. Частная производная по \(x\), \( z'_x \), рассчитывается как производная от функции \(z\) по \(x\), считая \(y\) константой. Следует помнить, что производная от корня третьей степени в общем виде \( \frac{d}{dx}\sqrt[3]{x} \) будет равна \( \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \).

2. Частная производная по \(y\), \( z'_y \), аналогично является производной от функции \(z\) по \(y\), считая \(x\) константой.

Запишем их:

\( z'_x = -\frac{y^2}{5x^2} + \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \)

\( z'_y = 2 - \frac{2y}{5x} \)

Теперь, когда у нас есть частные производные, подставим координаты точки \(M_0\):

( z'_x(1; \frac{1}{2}) = -\frac{(\frac{1}{