Найдите все первообразная

Привет! Давай посмотрим вместе на задачу. Нам нужно найти первообразные для функций, заданных в твоем варианте. Первообразные функций - это функции, производные которых дают исходные функции. По сути, мы делаем операцию обратную дифференцированию, это интегрирование.

Для начала возьмем первую функцию из списка:

1) f(x) = 1 + 2x^4 - \frac{1}{x^3}

Чтобы найти первообразную F(x), нужно взять неопределенный интеграл от f(x). Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

• Для константы 1 первообразная будет x, потому что производная от x есть 1.
• Для члена 2x^4 используем правило интегрирования степенной функции: прибавляем 1 к степени и делим на новую степень, получим \(\frac{2}{5}x^5\).
• Для последнего члена \(-\frac{1}{x^3}\) повторяем правило степенной функции и учитываем, что степень будет отрицательной, поэтому она увеличивается на 1 и становится -2, после чего делим на новую степень: \(\frac{1}{2x^2}\).

Таким образом, первообразная для f(x) будет:

F(x) = x + \frac{2}{5}x^5 + \frac{1}{2x^2} + C

где C – константа интегрирования, которая может быть любым числом, так как производная константы равна нулю.

Для других функций из списка процесс аналог