.

Привет! Давай посмотрим, что у нас тут за задачка.

У нас есть прямоугольный параллелепипед \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \), и нам известны длины его рёбер: \( AB = 4 \), \( BC = 5 \) и \( AA_1 = 12 \). Нам нужно найти градусную меру двугранного угла между гранями \( DD_1C_1 \) и \( D_1B_1C_1 \).

Двугранный угол - это угол между двумя плоскостями. Чтобы найти его, нам нужно построить перпендикуляр к одной из граней (например, к D_1B_1C_1), исходящий из линии пересечения граней (в нашем случае это ребро \( D_1C_1 \)).

Теперь мы имеем прямоугольный треугольник, в котором известна гипотенуза (ребро \( AA_1 \), равное 12) и один из катетов (ребро \( AB \), равное 4). Нам нужно найти второй катет \( D_1B_1 \), который будет лежать на грани \( D_1B_1C_1 \) и являться перпендикуляром к ребру \( D_1C_1 \). После этого мы сможем использовать тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, чтобы найти угол.

Чтобы найти \( D_1B_1 \), мы используем теорему Пифагора:

( (D_1B