решить задачу на прикреплённом фото

Давай вместе разберёмся с этой задачей. Нам нужно найти длину кривой, заданной параметрическими уравнениями:

x(t) = cos^3(t), y(t) = sin^3(t), где 0 ≤ t ≤ π/2.

Для нахождения длины кривой, заданной параметрически, применяется формула:

L = ∫√((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt,

где dx/dt и dy/dt — производные функций x(t) и y(t) по параметру t.

Шаг 1: Найдем производные dx/dt и dy/dt.

dx/dt = d(cos^3(t))/dt = 3cos^2(t)(-sin(t)) = -3cos^2(t)sin(t), потому что дифференцируя по цепочке, мы вначале берем производную от внешней функции (cos^3(t)), которая равна 3cos^2(t), а затем умножаем её на производную внутренней функции (cos(t)), которая равна -sin(t).

dy/dt = d(sin^3(t))/dt = 3sin^2(t)(cos(t)) = 3sin^2(t)cos(t), по аналогичной причине, дифференцируя sin^3(t) через цепное правило.

Шаг 2: Подставим производные в формулу для интеграла.

L = ∫√((-3cos^2(t)sin(t))^2 + (3sin^2(t)cos(t))^2) dt = = ∫√(9cos^4(t)sin^2(t) + 9sin^4(t)cos^2(t)) dt, раскрываем квадраты и выносим 9 за скобку.

Теп