О функции f(x), заданной на всей вещественной прямой, известно, что при любом a > 1 функция f(x) + f(ax) непрерывна на всей прямой. Докажите, что f(x) также непрерывна на всей прямой.

Пусть существует точка x0, в которой функция f(x) не непрерывна. То есть, существует число ε > 0 такое, что для любого δ > 0 найдется точка x такая, что |x - x0| < δ, но |f(x) - f(x0)| ≥ ε.

Рассмотрим функцию g(x) = f(x) + f(ax). По условию, функция g(x) непрерывна на всей прямой. Также заметим, что g(x0) = f(x0) + f(ax0).

Распишем модуль разности |f(x) - f(x0)|: |f(x) - f(x0)| = |f(x) - f(x0) + f(ax) - f(ax)|.

Заменим f(ax) в выражении на g(ax), тогда: |f(x) - f(x0) + g(ax) - g(ax)| = |f(x) + g(ax) - f(x0) - g(ax)|.

По непрерывности функции g(x) в точке x0, для любого ε1 > 0 существует δ1 > 0 такое, что если |x - x0| < δ1, то |g(x) - g(x0)| < ε1.

Положим ε1 = ε/2. Тогда найдется число δ1 > 0, соответствующее ε1, такое что при |x - x0| < δ1 выполнено |g(x) - g(x0)| < ε/2.

Из этого следует, что: |f(x) + g(ax) - f(x0) - g(ax0)| < ε.

Заметим, что при |x - x0| < δ1 выполнено и |ax - ax0| < δ1. Тогда можно взять δ2 = δ1/a. Это число соответствует ε1 > 0, так что при |x - x0| < δ2 выполнено |g(ax) - g(ax0)| < ε/2.

Теперь рассмотрим точку x1, такую что |x1 - x0| < δ2 и |ax1 - ax0| < δ2. Это означает, что ax1 находится в интервале (ax0 - δ2, ax0 + δ2). Также из этого следует, что x1 находится в интервале (x0/a - δ2/a, x0/a + δ2/a).

Так как функция g(x) непрерывна на всей прямой, для точек x1 и x0/a существует ε2 > 0 такое, что |g(x1) - g(x0/a)| < ε2.

Мы уже знаем, что при |x - x0| < δ1 и |ax - ax0| < δ1 выполнено |g(x) - g(x0)| < ε/2. Тогда, при |x - x0| < δ2 и |ax - ax0| < δ2 выполнено: |f(x) + g(ax) - f(x0) - g(ax0)| < ε.

Теперь рассмотрим два неравенства |f(x) - f(x0)| ≥ ε и |f(x) + g(ax) - f(x0) - g(ax0)| < ε. Возьмем сумму этих двух неравенств:

|f(x) - f(x0)| + |f(x) + g(ax) - f(x0) - g(ax0)| ≥ ε + ε > 0.

Но так как сумма модулей не может быть отрицательной, это является противоречием.

Таким образом, предположение о существовании точки x0, в которой функция f(x) не непрерывна, неверно. Значит, функция f(x) непрерывна на всей вещественной прямой.