О функции f(x), заданной на всей вещественной прямой, известно, что при любом a > 1 функция f(x) + f(ax) непрерывна на всей прямой. Докажите, что f(x) также непрерывна на всей прямой.

Для начала заметим, что для любого положительного числа b, функция f(x) + f(bx) также непрерывна на всей прямой. Изначальное условие справедливо для всех a > 1, поэтому можем заменить a на 1/b и получим, что f(x) + f(x/b) непрерывна на всей прямой.

Пусть существует точка c, в которой функция f(x) не непрерывна. То есть, существует ε > 0 такое, что для любого δ > 0 найдется точка d, удовлетворяющая условию |d - c| < δ, но |f(d) - f(c)| ≥ ε.

Возьмем b = c/a, где a > 1. Тогда по условию непрерывности функции f(x) + f(x/b) существует такое δ > 0, что при |x - c| < δ выполняется |f(x) + f(x/b) - (f(c) + f(c/b))| < ε/2.

Так как |d - c/b| = |c - ac/b| = |c - c/a| = 0, то точка c/b лежит в интервале |x - c| < δ. Подставим x = c/b в неравенство |f(x) + f(x/b) - (f(c) + f(c/b))| < ε/2 и получим |f(c/b) - f(c)| < ε/2.

Тогда для точки d = c/b выполняется |d - c| = |c/b - c| = |c - c| = 0, но |f(d) - f(c)| = |f(c/b) - f(c)| ≥ ε, что противоречит условию непрерывности функции f(x) + f(x/b) на всей прямой.

Таким образом, предположение о существовании точки c, в которой функция f(x) не непрерывна, неверно. Значит, функция f(x) непрерывна на всей вещественной прямой.