О функции f(x), заданной на всей вещественной прямой, известно, что при любом a > 1 функция f(x) + f(ax) непрерывна на всей прямой. Докажите, что f(x) также непрерывна на всей прямой.

Для начала заметим, что если f(x) непрерывна в какой-то точке c, то f(ax) также непрерывна в точке c/a. Тем самым, если f(x) непрерывна в точке c, то f(x) + f(ax) непрерывна в точке c.

Для доказательства непрерывности функции f(x) на всей вещественной прямой, нам нужно доказать, что она непрерывна в каждой точке.

Предположим противное и предположим, что существует точка d, в которой f(x) не является непрерывной.

Рассмотрим последовательность точек x_n = d * a^n, где n - натуральное число.

Так как f(x) не является непрерывной в точке d, то по определению, существует эпсилон > 0, для которого не найдется дельта > 0 такой, что для всех точек x, удовлетворяющих 0 < |x - d| < дельта, |f(x) - f(d)| < эпсилон.

Для нашей последовательности x_n, рассмотрим значения f(x_n) и f(ax_n). По условию f(x) + f(ax) непрерывна на всей прямой. Это означает, что для любого эпсилон > 0 найдется дельта > 0 такая, что для всех точек x, удовлетворяющих 0 < |x - da^n| < дельта, |f(x) + f(ax) - (f(d) + f(ada^n))| < эпсилон.

Рассмотрим точку x = d * a^(n+1). Тогда x находится ближе к d, чем x_n, и должно выполняться неравенство |x - d*a^n| < дельта.

Таким образом, должно выполняться неравенство |f(x) + f(ax) - (f(d) + f(ad*a^n))| < эпсилон.

Далее устремим n к бесконечности. Поскольку a > 1, то x_n будет стремиться к бесконечности. Так как функция f(x) является функцией, определенной на всей вещественной прямой, f(x) и f(ax) будут стремиться к некоторым конечным или бесконечным значениям при x, стремящихся к бесконечности. Пусть эти пределы равны f_inf и f_inf_2 соответственно.

Тогда |f(x) + f(ax) - (f(d) + f(ad*a^n))| < эпсилон, может быть переписано как |f_inf + f_inf_2 - (f(d) + f_inf_2)| < эпсилон.

Раскроем скобки и получим |f_inf - f(d)| < эпсилон.

Так как выполняется для любого эпсилон > 0, то f_inf должно равняться f(d). Но это означает, что f(x) непрерывна в точке d, что противоречит нашему предположению.

Таким образом, f(x) должна быть непрерывной на всей вещественной прямой.