Многогранник описан около сферы. назовём его грань большой, если проекция сферы на плоскость грани целиком попадает в грань. докажите, что больших граней не больше шести.

Давайте рассмотрим многогранник, описанный около сферы. Предположим, что в нем существует больше шести граней, которые можно считать большими.

Пусть наш многогранник имеет N граней, а все ребра поделены на две группы: "большие" и "маленькие".

Возьмем одну большую грань и проведем плоскость, проходящую через ее центр и параллельную грани. Рассмотрим проекцию сферы этой плоскости на саму плоскость грани. Поскольку грань считается большой, проекция сферы полностью попадает в эту грань.

Теперь рассмотрим другую грань и проведем точно такую же плоскость. Если проекция сферы на эту плоскость полностью попадает в грань, то эти две грани принадлежат одной плоскости и, таким образом, они пересекаются. Проделаем эти шаги для каждой пары граней.

Заметим, что каждая из N граней пересекается с каждой другой. Таким образом, если мы посчитаем количество пересечений, оно будет равно C(N, 2), где C(N, 2) - число сочетаний из N по 2.

Учитывая, что C(N, 2) = N! / (2! * (N - 2)!) = N * (N - 1) / 2, для N > 6 получаем:

N * (N - 1) / 2 > 6

Раскрываем скобки:

N^2 - N > 12

Уравнение N^2 - N - 12 = 0 имеет два корня: N = -3 и N = 4. Однако, количество граней не может быть отрицательным, поэтому мы получаем, что для N > 6 не существует многогранника с более чем шестью большими гранями.

Таким образом, доказано, что число больших граней в многограннике, описанном около сферы, не может превышать шесть.