Реши

Привет! Давай вместе разберемся с задачей на картинке. На фотографии страницы книги виден список математических уравнений и неравенств.

Тебе нужно решить систему уравнений:

\[ \begin{cases} \sin x \sin y + \cos x \cos y = 1 \\ \sin x \cos y + \cos x \sin y = \frac{1}{2} \end{cases} \]

Этой системе соответствует последняя задача на страничке. Начнем пошагово:

1. Заметим, что первое уравнение описывает формулу косинуса суммы: \[ \cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \] Но у нас слагаемое с синусами со знаком плюс, поэтому изменяем знак и получаем: \[ \cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \] Сравнивая это с первым уравнением системы, получаем: \[ \cos(x-y) = 1 \]

2. Из этого следует, что: \[ x - y = 2\pi k \] где \( k \) — целое число, поскольку косинус равен 1 на целых кратных \( 2\pi \).

3. Теперь перейдем ко второму уравнению, которое представляет собой формулу синуса суммы: \[ \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \] Сравнивая с уравнением системы, получаем: \[ \sin(x+y) = \frac{1}{2} \]

4. Из последнего уравнения следует, что: \[ x + y = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \] или [ x