найдите

Привет! На фотографии у нас есть задание по интегрированию. Нужно найти неопределенный интеграл функции \((3 + 5x)^{\frac{1}{6}}\).

Чтобы решить эту задачу, используем подстановку \(u = 3 + 5x\), отсюда производная от \(u\) по \(x\) будет \(du/dx = 5\), а \(dx = du/5\).

Интеграл примет вид: \[ \int (u)^{\frac{1}{6}} \cdot \frac{du}{5} \]

Теперь это стандартный интеграл вида \(\int u^n du\), решение которого знаем: \[ \frac{u^{n+1}}{n+1} + C \]

В нашем случае \(n = \frac{1}{6}\), подставим это и не забудем про коэффициент \(\frac{1}{5}\): \[ \frac{1}{5} \cdot \frac{u^{\frac{1}{6}+1}}{\frac{1}{6}+1} + C \]

Упрощаем выражение: \[ \frac{1}{5} \cdot \frac{u^{ \frac{7}{6}}}{\frac{7}{6}} + C \]

Домножаем на дробь, обратную к \(\frac{7}{6}\), который будет равен \(\frac{6}{7}\), и возвращаемся к x: \[ \frac{1}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot (3 + 5x)^{ \frac{7}{6}} + C \]

Умножаем \(\frac{6}{35}\) на \((3 + 5x)^{ \frac{7}{6}}\) и прибавляем константу интегрирования \(C\): [ \frac{6}{35} \cdot (3 + 5