Решить контрольную

Привет! Давай помогу тебе с контрольной работой по теме "Первообразная и интеграл". На фотографии два варианта заданий, так что тебе нужно выбрать один из них. Давай решим по порядку.

Если ты выбираешь первый вариант, тогда начнем с первого задания. Нам нужно найти первообразную функции \( y = x^4 + 3x^2 + 5 \) в точке \( M(1; 1) \). Чтобы найти первообразную, нужно выполнить неопределенный интеграл для каждого члена функции. Напоминаю, что интеграл от \( x^n \) есть \( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \), где \( C \) - константа интегрирования.

Таким образом, первообразная для \( x^4 \) будет \( \frac{x^5}{5} \), для \( 3x^2 \) будет \( x^3 \), а константу просто перепишем, так как интеграл от константы есть \( Cx \). Не забудь про \( C \) в конце!

Чтобы найти \( C \), подставим координаты точки \( M \) в найденное выражение для первообразной и решим полученное уравнение относительно \( C \). Получается, что \( 1 \) равно \( \frac{1^5}{5} + 1^3 + 5 + C \), откуда найдем \( C \).

Переходим ко второму заданию - вычислению интегралов. Нужно аналогично применить правило интегрирования ( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}