О

Привет! Давай посмотрим на твою задачу.

Задание - проверить истинность двух утверждений, касающихся уравнений:

А) Уравнение \(2\log{2x} = 1\) и \(\log{x^2} = 1\) не являются равносильными на множестве всех действительных чисел.

В) Уравнение \(2\log{2x} = 1\) и \(\log{x^2} = 1\) являются равносильными на множестве всех положительных действительных чисел.

Сначала рассмотрим уравнение \(2\log{2x} = 1\). Чтобы упростить уравнение, мы разделим обе стороны на 2, получим \(\log{2x} = \frac{1}{2}\). Зная свойства логарифмов, мы можем переписать правую часть как логарифм: \(\log{2x} = \log{\sqrt{10}}\), потому что \(\sqrt{10}\) это то же самое, что \(10^{\frac{1}{2}}\).

Теперь перейдем к уравнению \(\log{x^2} = 1\). Опять переписываем единицу как логарифм: \(\log{x^2} = \log{10}\).

Таким образом, если мы сравним \(\log{\sqrt{10}}\) и \(\log{10}\), сразу видно, что они не равны, потому что \(\sqrt{10} \neq 10\). Это означает что утверждение А) верно. Уравнения не равносильны на множестве всех действительных чисел, так как одно и то же значение логарифмического выражения