5. Правильный треугольник и правильный шестиугольник вписаны в одну окружность. Найдите площади этих фигур, если радиус вписанной окружности треугольника равен √3.

Площадь правильного треугольника равна \( \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \), где \( a \) - длина стороны треугольника. Так как треугольник вписан в окружность, то радиус этой окружности равен \( \frac{a}{\sqrt{3}} \).

Для правильного шестиугольника, площадь равна \( \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \), где \( a \) - длина стороны шестиугольника. Радиус вписанной окружности шестиугольника также равен \( \frac{a}{\sqrt{3}} \).

Из условия задачи, радиус вписанной окружности треугольника равен \( \sqrt{3} \), поэтому \( \frac{a}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \). Отсюда находим длину стороны треугольника: \( a = 3 \).

Теперь можем найти площадь треугольника: \( \frac{3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{4} \).

Также, пользуясь найденным значением длины стороны треугольника \( a = 3 \), можем найти площадь правильного шестиугольника: \( \frac{3 \cdot 3^2\sqrt{3}}{2} = \frac{27\sqrt{3}}{2} \).

Итак, площадь правильного треугольника равна \( \frac{9\sqrt{3}}{4} \), а площадь правильного шестиугольника равна \( \frac{27\sqrt{3}}{2} \).