Найти значение выражения

Привет! Давай вместе решим эту задачу.

Нам нужно найти значение выражения \( \frac{3(2a)^{3/2}}{a^{3/5}} \) при \( a = \sqrt{10} \).

Для начала разберемся с дробью. В числителе выражения \( (2a)^{3/2} \), мы можем это упростить, разделив показатель степени на 2, и затем возведем результат в степень 3, то есть \( ((2a)^{1/2})^3 \).

\( a^{1/2} \) — это корень квадратный из a, то есть \( \sqrt{a} \), а у нас \( a = \sqrt{10} \), значит \( (a^{1/2})^3 = (\sqrt{10})^3 \).

Теперь умножим это на 2 (так как у нас \( 2a \)) и на 3, получится \( 3*2*(\sqrt{10})^3 \). Это будет числитель нашей дроби.

В знаменателе у нас \( a^{3/5} \). Подставим \( a = \sqrt{10} \) и возведем в степень \( 3/5 \): \( (\sqrt{10})^{3/5} \).

Теперь у нас есть все, чтобы упростить выражение: \[ \frac{3*2*(\sqrt{10})^3}{(\sqrt{10})^{3/5}} \]

Для упрощения разделим степени \( (\sqrt{10})^3 \) на \( (\sqrt{10})^{3/5} \). При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: \[ (\sqrt{10})^{3 - 3/5} \]

Вычислим разность показателей степеней: \[ 3 - 3/5 = 15/5 - 3/5 = 12/5 \]

Теперь посчитаем значение: \[ 3*2*(\sqrt{10})^{12/5} / (\sqrt{10})^{3/5} = 6*(\sqrt{10})^{(12/5 - 3/5)} = 6*(\sqrt{10})^{9/5} \]

Корень пятой степени из числа 10 возводим в степень 9/5: \[ 6*(\sqrt[5]{10})^9 \]

Конечно, это выражение можно было бы упростить еще больше, используя свойства степеней, но без калькулятора это сделать достаточно сложно, поэтому остановимся на таком упрощении. Получается, конечный ответ — это: \[ 6*(\sqrt[5]{10})^9 \]

Это и есть искомое значение выражения.