Фото

Отлично, давай решим задачу из дополнительного задания под номером 1: \( (x^2 - 11)(15 - x^2) \geq 0 \).

Шаги решения:

1. Распознай корни квадратных трехчленов \( x^2 - 11 \) и \( 15 - x^2 \). Для \( x^2 - 11 = 0 \) корни будут \( \sqrt{11} \) и \( -\sqrt{11} \). Для \( 15 - x^2 = 0 \) корни будут \( \sqrt{15} \) и \( -\sqrt{15} \).

2. Теперь отметь эти корни на числовой прямой и определи интервалы знакопостоянства произведения \( (x^2 - 11)(15 - x^2) \).

3. Найди знаки произведения на каждом интервале. Мы знаем, что при переходе через корень квадратного трехчлена знак на противоположный меняется.

4. Отметь на числовой прямой те интервалы, где произведение \( (x^2 - 11)(15 - x^2) \) получается неотрицательным, то есть больше или равно нулю.

5. Результатом будут интервалы и точки, где выражение неотрицательно.

Давай это проделаем:

Корни уравнений: \( x_1 = -\sqrt{15}, x_2 = -\sqrt{11}, x_3 = \sqrt{11}, x_4 = \sqrt{15} \).

На числовой прямой интервалы будут На числовой прямой интервалы будут выглядеть так: \(-\infty < x < -\sqrt{15}\), \(-\sqrt{15} < x < -\sqrt{11}\), \(-\sqrt{11} < x < \sqrt{11}\), \(\sqrt{11} < x < \sqrt{15}\) и \(\sqrt{15} < x < +\infty\).

Знаки на этих интервалах будут чередоваться начиная с "+", так как самое большое значение (15) с минусом находится во второй степени. Следовательно, на концах будет "+", внутри между корнями "-".

Теперь выберем интервалы, где выражение будет неотрицательным: \((-∞; -\sqrt{15}] \cup [\sqrt{11}; \sqrt{15}]\).

Вот и ответ: \( x \) принадлежит интервалам \((-∞; -\sqrt{15}]\) и \([\sqrt{11}; \sqrt{15}]\).