Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см, а апофема образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите высоту пирамиды

Для нахождения высоты правильной четырехугольной пирамиды с известными стороной основания и углом между апофемой и плоскостью основания, можно воспользоваться тригонометрическими функциями.

Дано: Сторона основания пирамиды, \( a = 4 \, \text{см} \) Угол между апофемой и плоскостью основания, \( \alpha = 60^\circ \)

Сначала найдем радиус окружности, вписанной в основание пирамиды. Для правильной четырехугольной пирамиды радиус вписанной окружности равен половине стороны основания, то есть, \( r = \frac{a}{2} \).

Теперь, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной стороны основания, радиусом вписанной окружности и высотой пирамиды. Угол между радиусом вписанной окружности и высотой пирамиды равен 90°, так как апофема проходит через середины боковых граней правильной пирамиды.

Теперь, используя тригонометрическую функцию синуса, можно записать: \( \sin 60^\circ = \frac{h}{r} \), где \( h \) - искомая высота пирамиды.

Известно, что \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Подставив значения, получаем: \( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{\frac{a}{2}} \).

Решив это уравнение, найдем значение высоты пирамиды: \( h = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{4} \).

Таким образом, высота правильной четырехугольной пирамиды будет равна \( \frac{4 \cdot \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \, \text{см} \).