Вариант 17. 1. Исследуйте функцию у = 4+9х-x^3/3 на максимум и минимум. 3 2. Исследуйте с помощью производной функцию у = х^5-5х и постройте ее график. 3. Исследовать, а затем построить график функции: f(x)= X/x²-4

Давай рассмотрим каждую задачу по порядку.

1. Исследуем функцию y = 4 + 9x - x^3/3 на экстремумы. Для этого найдем ее производную и приравняем к нулю, чтобы найти стационарные точки.

y' = 9 - x^2. Приравниваем к нулю: 9 - x^2 = 0. Отсюда находим x: x = ±3.

Теперь найдем вторую производную, чтобы определить, являются ли эти точки максимумами или минимумами: y'' = -2x.

Подставим найденные значения x во вторую производную: y''(3) = -2*3 = -6 < 0, значит, при x = 3 функция имеет максимум. y''(-3) = -2*(-3) = 6 > 0, значит, при x = -3 функция имеет минимум.

Теперь подставим x в исходную функцию, чтобы найти значения максимума и минимума: y_max = 4 + 93 - (3^3)/3 = 4 + 27 - 9 = 22. y_min = 4 + 9(-3) - ((-3)^3)/3 = 4 - 27 + 9 = -14.

2. Исследуем функцию y = x^5 - 5x через ее производную.

Найдем первую производную: y' = 5x^4 - 5.

Приравниваем к нулю для нахождения стационарных точек: 5x^4 - 5 = 0. Отсюда получаем x^4 = 1, x = ±1.

Смотрим на знаки производной в окрестности стационарных точек, чтобы понять, где функция возрастает, а где убывает. Строим график, учитывая поведение функции в этих точках и на бесконечности.

3. Исследовать функцию f(x) = x / (x^2 - 4) и построить ее график.

Функция не определена в точках x = ±2, так как знаменатель обращается в ноль.

Исследуем поведение функции на бесконечности и в окрестности точек разрыва. Найдем асимптоты: вертикальные при x = ±2 и горизонтальной нет, так как предел функции при x стремящемся к бесконечности равен 0.

График f(x) будет иметь гиперболический характер с вертикальными асимптотами x = ±2 и горизонтальной асимптотой y = 0. Для точного графика необходимо также рассмотреть поведение функции в интервалах между точками разрыва и на бесконечностях, нарисовать предельные положения и соединить их плавным графиком.