Решите пж пожалуйста

Давай решим задачу под номером 5:

\[ \log_{0.7}(x^2 - 2x - 3) \leq \log_{0.7}(9 - x); \]

Это неравенство с логарифмами одинакового основания. Этот факт позволяет нам сказать, что если основания логарифмов одинаковые и положительные, не равные 1, то можно сравнивать их аргументы:

\[ x^2 - 2x - 3 \leq 9 - x. \]

Давай теперь решим это квадратное неравенство:

1. Переносим все в одну сторону:

\[ x^2 - 2x - 3 - 9 + x \leq 0, \]

\[ x^2 - x - 12 \leq 0. \]

2. Раскладываем на множители (ищем корни квадратного уравнения \(x^2 - x - 12 = 0\)):

\[ (x - 4)(x + 3) \leq 0. \]

Корни уравнения: x = 4 и x = -3.

3. Решаем неравенство с помощью метода интервалов:

\[ x \in [-3, 4]. \]

Но у нас есть начальное условие: аргументы логарифмов должны быть положительными. Поэтому нужно помнить, что:

\[ x^2 - 2x - 3 > 0 \] и \[ 9 - x > 0, \] то есть \[ x < 9. \]

Итак, из неравенства \( x^2 - 2x - 3 > 0 \) следует, что \( x \in (-\infty, -3) \cup (4, +\infty) \), но нам нужно решение, которое одновременно удовлетворяет обоим условиям. Поэтому исключаем отрицательные значения и те, что больше 9, остается:

\[ x \in [-3, 4]. \]

Полученное множество решений − это пересечение двух условий: первоначального неравенства и области определения аргументов логарифма, так что финальное решение:

\[ x \in [-3, 4]. \]

Не забудь проверить, что в этих пределах не нарушается положительность аргументов логарифмов!