Решите

На изображении представлены неравенства с логарифмами. Давай решим, например, первое неравенство шаг за шагом.

2. \( \log{2x} < \log{(x + 1)} \)

Здесь основание логарифма не указано, но можно предположить, что это десятичный логарифм (основание 10).

Что мы можем сразу заметить, так это то, что функция логарифма возрастает, потому что основание десятичного логарифма больше 1. Это значит, что если \( \log{a} < \log{b} \), то \( a < b \).

Теперь применим это к нашему неравенству:

Если \( \log{2x} < \log{(x + 1)} \), то \( 2x < x + 1 \).

Теперь решим это неравенство:

1. \( 2x - x < 1 \)
2. \( x < 1 \)

Таким образом, решение неравенства — все \( x \), которые меньше 1. Но не забудь проверить область допустимых значений! В логарифме аргумент должен быть положительным, то есть:

1. \( 2x > 0 \) \( \Rightarrow x > 0 \)
2. \( x + 1 > 0 \) \( \Rightarrow x > -1 \)

Область определения — \( x > 0 \), потому что это строже, чем \( x > -1 \). Таким образом, решение неравенства вместе с учетом ОДЗ: \( 0 < x < 1 \).